O conjunto dos números irracionais
Vais conhecer o conjunto dos números irracionais, compreender por que √2 não é racional, relacionar a descoberta com a escola pitagórica e situar esses números na reta real, ampliando a ideia até o conjunto ℝ.
Pitágoras e o pentagrama
No 8º ano você já teve contato com o pentagrama e com contribuições da escola pitagórica que marcaram a Matemática. Os pitagóricos procuravam descrever a natureza com números e proporções — e o pentagrama aparecia ligado à razão áurea e à geometria regular.
O que sabes sobre esta figura e sobre a simetria do pentágono regular?
Um novo conjunto: os números irracionais
Os números racionais são frações de inteiros; a sua representação decimal é finita ou periódica. Porém existem grandezas geométricas simples — como a diagonal de um quadrado de lado 1 — cujo comprimento não se escreve como fração de inteiros.
A esses números chama-se números irracionais. Todo número real é racional ou irracional (e não ambos ao mesmo tempo); ao juntar os dois tipos obtém-se o conjunto ℝ, como vais ver mais abaixo.
Exemplos clássicos (valores aproximados por truncatura):
- √2 ≈ 1,41421356… (dígitos sem período repetido)
- √3 ≈ 1,7320508…
- √5 ≈ 2,2360679…
A irracionalidade de √2
A diagonal de um quadrado de lado 1 mede √2 (pelo teorema de Pitágoras). Na tradição, conta-se que a descoberta de que √2 não era “razão de dois inteiros” abalou a visão pitagórica dos números — em algumas versões, associa-se a figura de Hipaso de Metaponto.
“O conjunto dos números racionais não esgota a reta numérica: faltam nele pontos que correspondem a comprimentos perfeitamente definíveis com régua e compasso.” Adaptado de obras de divulgação sobre a história dos números (cf. manuais de 9º ano).
Uma demonstração possível (por reductio ad absurdum): supõe-se que √2 = a/b com a, b inteiros primos entre si; deduz-se uma contradição, logo √2 ∉ ℚ.
Localizando números irracionais na reta numérica
Na reta orientada, cada ponto pode representar um número real. Construções com triângulos retângulos permitem transportar comprimentos como √2, √3 ou √5 a partir de segmentos conhecidos (por exemplo, catetos 1 e 1 dão hipotenusa √2).
1. Esboça um quadrado de lado 1 e usa o teorema de Pitágoras para justificar que a diagonal tem comprimento √2.
2. Observa as quatro construções (espaços para o teu desenho ou comentário):
Ampliando os conjuntos numéricos
Reunindo todos os racionais e todos os irracionais, obtém-se o conjunto dos números reais, denotado por ℝ. Tem-se a cadeia de inclusões:
Cada ponto da reta corresponde a um real; os irracionais “preenchem” os buracos deixados pelos racionais, no sentido da completude da reta (ideia que vais aprofundar mais tarde).
Resumo
- Os irracionais têm decimal infinita e não periódica.
- √2 é o exemplo histórico central; √3 e √5 são irracionais típicos.
- ℝ reúne racionais e irracionais; a reta numérica representa ℝ.