Grandezas comensuráveis e incomensuráveis
Vais relacionar medidas de segmentos com razões numéricas, estudar o cálculo do m.d.c. por subtrações sucessivas (ideia geométrica) e distinguir segmentos comensuráveis e incomensuráveis, ligando à descoberta de números irracionais como √2.
Pitágoras e a diagonal do quadrado
Os pitagóricos privilegiavam as razões entre números inteiros. Na construção de um quadrado, a medida da diagonal e a do lado parecem “comparáveis” com a régua — mas será que a razão entre essas duas medidas é uma fração de números naturais?
Qual foi a incerteza dos pitagóricos ao comparar a medida da diagonal com a do lado do quadrado? Levanta as tuas hipóteses antes de continuar.
Expressando a razão entre medidas de segmentos
Dados dois segmentos AB e CD, se a medida de AB for 8 cm e a de CD for 5 cm (por exemplo), a razão entre as medidas pode escrever-se:
Quando essa razão é um número racional, costuma-se dizer que a comparação entre as medidas se expressa bem por uma fração de inteiros — o que se liga à ideia de comensurabilidade (ver mais abaixo).
Cálculo do m.d.c. pelo processo de subtrações sucessivas
Geometricamente, pode determinar-se o m.d.c. de dois comprimentos representando-os como segmentos e repetindo a ideia de subtrair o menor do maior — método usado desde a Antiguidade, associado às ideias gregas de medida.
1. Passo
Do comprimento do segmento maior subtrai-se o comprimento do menor:
AB − CD = EB
Esquema (valores ilustrativos)
2. Passo
Abandona-se o segmento que era “maior” nessa etapa e repete-se a subtração entre os dois segmentos restantes:
CD − EB = FD
3. Passo
O processo repete-se até a diferença ser nula (segmentos congruentes). O último comprimento não nulo obtido corresponde ao m.d.c. das medidas iniciais (no contexto inteiro dos comprimentos).
FD − EB = GD → … → EB − GD = 0
O segmento GD (no último passo em que coincidem) representa o máximo divisor comum entre as medidas de AB e CD, quando se trabalha em unidades comensuráveis.
Segmentos comensuráveis e incomensuráveis
Dois segmentos são comensuráveis quando existe uma unidade de medida menor que caiba um número inteiro de vezes em ambos — equivalentemente, a razão entre as suas medidas é um número racional.
São incomensuráveis quando não existe essa unidade comum inteira; a razão entre as medidas é um número irracional.
Conclusão — √2 e grandezas incomensuráveis
No quadrado de lado 1, a diagonal mede √2. Não existem inteiros m e n (com n ≠ 0) tais que √2 = m/n — logo a medida da diagonal e a do lado são grandezas incomensuráveis: a razão entre elas não é racional.
Por isso, fala-se também em segmentos incomensuráveis quando a razão das medidas não é racional. Este facto foi profundamente inquietante na escola pitagórica e está ligado à descoberta dos números irracionais.
Resumo
- Razão entre medidas de segmentos liga geometria a frações.
- O m.d.c. pode ser pensado por subtrações sucessivas (ideia geométrica).
- Comensurável = razão racional; incomensurável = razão irracional.
- Diagonal e lado do quadrado de lado 1 são incomensuráveis (√2 ∉ ℚ).