Retas paralelas e o teorema de Tales

O módulo liga a história de Tales de Mileto à geometria de retas paralelas cortadas por transversais, às propriedades dos ângulos e ao teorema de Tales sobre segmentos proporcionais.

Tales e a altura da pirâmide

Conta-se que Tales de Mileto (séc. VI a.C.) usou as sombras no deserto para estimar a altura da Grande Pirâmide: num instante em que a sombra de uma estaca vertical era igual ao seu comprimento, a sombra da pirâmide permitia relacionar grandezas por semelhança de triângulos — ideia que antecipa o uso de proporções na geometria.

De que forma o comprimento da sombra medido por Tales poderia revelar a altura da pirâmide? (Pensa em triângulos retângulos semelhantes e na igualdade de razões entre lados correspondentes.)

Ângulos e retas paralelas

Quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, formam-se pares de ângulos com propriedades bem definidas (alternos internos, correspondentes, colaterais, etc.) — ferramentas para justificar construções e demonstrações.

Experiência típica de manual: três varetas em que duas ficam paralelas e a terceira age como transversal; marca-se um par de ângulos correspondentes para verificar que têm a mesma medida quando as paralelas estão corretamente alinhadas.

O estudo costuma avançar para o triângulo: dado o triângulo ABC, se prolongares um lado, o ângulo externo em um vértice e o ângulo interno não adjacente relacionam-se (por exemplo, o externo em C e o interno em A) — pergunta central: será sempre verdade que o externo é maior que qualquer interno não adjacente, em qualquer triângulo?

Resolução de um problema sobre retas paralelas

Um designer de embalagens desenhou uma caixa de leite em forma de bloco retangular. Para testar o projeto, pretende montar uma amostra a partir da planificação (figura em duas dimensões) ao lado do desenho da caixa.

Nesse tipo de problema, aparecem segmentos paralelos na planificação e relações entre medidas (por exemplo, larguras totais de 20 cm, alturas de 10 cm e 5 cm em trechos indicados no esquema). A estratégia de resolução costuma apoiar-se no teorema de Tales: igualdade de razões entre segmentos correspondentes determinados por retas paralelas em duas transversais.

Formalização do teorema de Tales

A estratégia usada em muitos exercícios apoia-se numa propriedade clássica: num feixe de retas paralelas, cortado por duas transversais, os segmentos determinados numa transversal são proporcionais aos segmentos correspondentes na outra.

As transversais a e b intersectam cada reta do feixe num único ponto.

Com a notação da figura, AB corresponde a A′B′, BC a B′C′, e assim por diante. Então:

AB / BC = A′B′ / B′C′

e analogamente para os outros pares de segmentos correspondentes (por exemplo AB/AC = A′B′/A′C′, BC/AC = B′C′/A′C′).

Teorema de Tales (feixe de paralelas) Num feixe de retas paralelas cortado por duas transversais, a razão entre as medidas de dois segmentos determinados sobre uma transversal é igual à razão entre as medidas dos dois segmentos correspondentes na outra transversal.

Se, por exemplo, os segmentos AB e BC forem comensuráveis de modo que AB/BC = 2/3, então, pelo teorema, A′B′/B′C′ = 2/3 também — os pares de segmentos correspondentes mantêm a mesma proporção.

Resumo

Retas paralelas + transversal → ângulos com relações fixas.
Feixe de paralelas + duas transversais → segmentos proporcionais.
O teorema de Tales formaliza essas igualdades de razões.
Aplica-se em problemas de planificação, sombras e semelhança.